Нав'є-Стокса рівняння. Математичне моделювання. Рішення систем диференціальних рівнянь

Освіта

Система рівнянь Нав'є-Стокса застосовується длятеорії стійкості деяких течій, а також для опису турбулентності. Крім того, на ній засноване розвиток механіки, яке безпосередньо пов'язане з загальними математичними моделями. У загальному вигляді дані рівняння мають величезний запас інформації і мало вивчені, проте були виведені ще в середині дев'ятнадцятого століття. Головні відбуваються випадки вважаються класичними нерівностями, тобто ідеальна невязкая рідина і прикордонні шари. Наслідком вихідних даних можуть бути рівняння акустики, стійкості, усереднених турбулентних рухів, внутрішніх хвиль.

Формування і розвиток нерівностей

Вихідні рівняння Нав'є-Стокса володіютьвеличезними даними фізичних ефектів, а слідчі нерівності відрізняються тим, що мають складність характерних ознак. З огляду на те, що вони також є нелінійними, нестаціонарними, з наявністю при цьому малого параметра з властивою старшої похідної і характером руху простору, їх можна вивчати за допомогою чисельних методів.

Пряме математичне моделюваннятурбулентності і руху рідини в структурі нелінійних диференціальних рівнянь має пряму і принциповим значенням в цій системі. Чисельні рішення Нав'є-Стокса були складними, залежними від великої кількості параметрів, тому викликали дискусії і вважалися незвичними. Однак в 60-х роках поклало в основу розвитку гідродинаміки і математичних методів становлення і вдосконалення, а також широке поширення ЕОМ.

Подальші відомості про систему Стокса

Сучасне математичне моделювання в структурі нерівностей Нав'є повністю сформовано і розглядається як незалежна напрям в областях знань:

механіці рідини і газу;
аерогідродинаміці;
машинобудуванні;
енергетиці;
природних явищ;
технології.

Більшість додатків подібного характерувимагає конструктивних і швидких рішень для робочого процесу. Точний розрахунок всіх змінних в цій системі підвищує надійність, знижує металоємність, обсяг енергетичних схем. В результаті витрати на обробку зменшуються, поліпшується експлуатаційна і технологічна складова машин, апаратів, якість матеріалів стає вище. Безперервне зростання і продуктивність ЕОМ дає можливість удосконалюватися чисельного моделювання, а також подібних методів вирішення систем диференціальних рівнянь. Всі математичні методи і системи об'єктивно розвиваються під впливом нерівностей Нав'є-Стокса, які містять значні резерви знань.

природна конвекція

Завдання механіки в'язкої рідини вивчалися наоснові рівнянь Стокса, природно-конвективний тепло- і масообмін. Крім того додатка даної області в результаті теоретичних практик досягли прогресу. Неоднорідність температури, складу рідини, газу і сила тяжіння викликають певні коливання, які мають назву природної конвекції. Вона також є гравітаційної, яка також ділиться на теплову і концентрационную гілки.

Крім усього іншого, цей термін поділяютьтермокапіллярная і інші різновиди конвекції. Існуючі механізми універсальні. Вони беруть участь і лежать в основі більшості рухів газу, рідини, які зустрічаються і присутні в природному сфері. Крім цього, впливають і впливають на елементи конструкції, засновані тепловими системами, а також на однорідність, теплоізоляційну ефективність, поділ речовин, структурну досконалість матеріалів, створених з рідкої фази.

Особливості даного класу рухів

Фізичні критерії виражені в складну внутрішню структуру. У цій системі складно виделяеми ядро течії і прикордонний шар. Крім того, особливостями є наступні змінні:

взаємний вплив різних полів (руху, температури, концентрації);
сильна залежність вищевказаних параметрів походить від граничних, початкових умов, які, в свою чергу, визначають критерії подібності і різних ускладнених факторів;
числові значення в природі, техніці змінюються в широкому значенні;
в результаті робота технічних і подібних установок утруднюється.

Фізичні властивості речовин, які змінюються вширокому діапазоні під впливом різних факторів, а також геометрія та граничні умови впливають на завдання конвекції, причому кожен вказаний критерій відіграє важливу роль. Характеристики масообміну і тепла залежать від безлічі шуканих параметрів. Для практичних застосувань, необхідні традиційні визначення: потоки, різні елементи режимів конструкцій, температурне розшарування, структура конвекції, мікро- і макронеоднородності концентраційних полів.

Нелінійні диференціальні рівняння та їх вирішення

Математичне моделювання, або, по-іншому,методи обчислювальних експериментів, розробляються з урахуванням специфічної системи нелінійних рівнянь. Удосконалена форма виведення нерівностей складається з декількох етапів:

Вибір фізичної моделі явища, яке досліджується.
Визначальні його вихідні значення групуються в сукупність даних.
Математична модель вирішення рівнянь Нав'є-Стокса і крайових умов в будь-якій мірі описує створене явище.
Розробляється метод або спосіб обчислення завдання.
Створюється програма для вирішення систем диференціальних рівнянь.
Розрахунки, аналіз та обробка результатів.
Застосування на практиці.

З усього цього випливає, що основне завдання - цедосягнення вірного висновку на основі даних дій. Тобто фізичний експеримент, що застосовується в практиці, повинен вивести певні результати і створити висновок про правильність і доступність моделі або ЕОМ-програми, розвиненою заради цього явища. В кінцевому підсумку, можна судити про вдосконалену способі обчислення або про те, що його необхідно доопрацювати.

Рішення систем диференціальних рівнянь

Кожен зазначений етап безпосередньо залежить відзаданих параметрів предметної області. Математичний метод здійснюється для вирішення систем нелінійних рівнянь, які належать різним класам завдань, і їх обчислення. Зміст кожного вимагає повноти, точності фізичних описів процесу, а також особливості при практичних застосуваннях будь-який з досліджуваних предметних областей.

Математичний спосіб обчислення на основіметодів вирішення нелінійних рівнянь Стокса застосовується в механіці рідини і газу і вважається наступним кроком услід за теорією Ейлера і прикордонним шаром. Таким чином, в даному варіанті обчислення високі вимоги до ефективності, швидкодії, досконалості обробки. Особливо ці вказівки застосовні до режимам течії, які можуть втратити стійкість і перейти до турбулентності.

Детальніше про ланцюжок дій

Технологічний ланцюжок, а точніше, математичніетапи повинні бути забезпечені безперервністю і рівній міцністю. Чисельне рішення рівнянь Нав'є-Стокса складається з дискретизації - при побудові конечномерной моделі в складі будуть якісь алгебраїчні нерівності і метод цієї системи. Конкретний спосіб обчислення визначається безліччю факторів, серед яких: особливості класу задач, вимоги, можливості техніки, традиції і кваліфікація.

Чисельні рішення нестаціонарних нерівностей

Щоб побудувати систему обчислення для задач,необхідно виявити порядок диференціального рівняння Стокса. По суті, в нього закладена класична схема двовимірних нерівностей для конвекції, тепло- і масообміну Буссінеска. Все це виводиться із загального класу задач Стокса про стисливої рідини, щільність якої не залежить від тиску, але має зв'язок з температурою. У теорії вона вважається динамічно і статично стійкою.

З урахуванням теорії Буссінеска все термодинамічніпараметри і їх значення при відхиленнях особливо не змінюються і залишаються відповідними статичному рівноваги і взаємопов'язаними з ним умовами. Модель, створена на основі цієї теорії, враховує мінімальні коливання і можливі розбіжності в системі в процесі зміни складу або температури. Таким чином, рівняння Буссінеска виглядає наступним чином: p = p (c, T). Температура, домішка, тиск. Причому щільність є незалежною змінною.

Методи рішення систем диференційних рівнянь

Сутність теорії Буссінеска

Щоб описати конвекцію, в теорії Буссінесказастосовна важлива відмінна риса системи, яка не містить гидростатических ефектів стисливості. Акустичні хвилі виявляються в системі нерівностей, якщо виникає залежність щільності і тиску. Подібні ефекти фільтруються при розрахунку відхилення температури та інших змінних від статичних значень. Це фактор істотно впливає на конструювання обчислювальних методів.

Однак якщо відбуваються якісь зміни абоперепади домішок, змінних, збільшується гідростатичний тиск, то слід рівняння скорегувати. Рівняння Нав'є-Стокса і звичайні нерівності мають відмінності, особливо для обчислення конвекції стиснення газу. У цих завданнях присутні проміжні математичні моделі, де враховується зміна фізичного властивості або виконується детальний облік зміни щільності, яка залежить від температури і тиску, і концентрації.

Особливості та характеристики рівнянь Стокса

Нав'є і його нерівності складають основуконвекції, крім цього, мають специфіку, певні особливості, які проявляються і виражаються в чисельному втіленні, а також не залежать від форми запису. Характерною рисою цих рівнянь вважається просторово-еліптична сутність рішень, яка обумовлена в'язким течією. Для вирішення необхідно використовувати і застосовувати типові способи.

Нерівності прикордонного шару відрізняються. У цих потрібно постановка певних умов. В системі Стокса присутній старша похідна, завдяки якій рішення змінюється і стає гладким. Прикордонний шар і стінки ростуть, в кінцевому підсумку, дана структура є нелінійної. В результаті - схожість і взаємозв'язок з гідродинамічним типом, а також з нестисливою рідиною, інерційними складовими, кількість руху в шуканих завданнях.

Характеристика нелінійності в нерівностях

При вирішенні систем рівнянь Нав'є-Стоксавраховуються великі числа Рейнольдса, В результаті це призводить до складних просторово-тимчасовим структурам. В природної конвекції немає швидкості, яку встановлюють в задачах. Таким чином, число Рейнольдса грає масштабну роль в зазначеному значенні, а також застосовується для отримання різних рівності. Крім того, застосування цього варіанту широко використовується для отримання відповідей з системами Фур'є, Грасгофа, Шмідта, Прандтля та інших.

У наближенні Буссінеска рівняння відрізняютьсяспецифікою, з огляду на те, що значна частка взаємного впливу полів температури і течії обумовлена певними факторами. Нестандартність протікання рівняння обумовлена нестійкістю, найменшим числом Рейнольдса. У разі течії ізотермічної рідини ситуація з нерівностями змінюється. Різні режими містяться в нестаціонарних рівняннях Стокса.

Сутність і розвиток численних досліджень

До недавнього часу лінійні гідродинамічнірівняння на увазі застосування великих чисел Рейнольдса і численних вивчень поведінки малих збурень, рухів та іншого. Сьогодні різні течії мають на увазі чисельне моделювання з прямими входженнями перехідних і турбулентних режимів. Все це вирішується за системою нелінійних рівнянь Стокса. Чисельний результат в даному випадку є миттєвим значенням всіх полів за заданими критеріями.

Обробка нестаціонарних результатів

Миттєві кінцеві значення єчисельні реалізації, які піддаються тим же системам і способам статистичної обробки, що і лінійні нерівності. Інші прояви нестаціонарності руху виражені в змінних внутрішніх хвиль, стратифікованої рідини і т. Д. Однак всі ці значення в кінцевому результаті описуються вихідною системою рівнянь і обробляються, аналізуються усталеними значеннями, схемами.

Інші прояви нестаціонарності вираженіхвилями, які розглядаються як перехідний процес еволюції початкових збурень. Крім того, існують класи нестаціонарних рухів, які пов'язані з різними масовими силами і їх коливаннями, а також з тепловими умовами, що змінюються в часовому проміжку.