Як знайти вершину параболи і побудувати її
У математиці є цілий цикл тотожностей, середяких вагоме місце займають квадратичні рівняння. Подібні рівності можуть вирішуватися як окремо, так і для побудови графіків на осі координат. Коріння квадратних рівнянь є точками перетину параболи і прямої ох.
Загальний вигляд
ax2 + Bx + c = 0
У ролі "ікси" можуть розглядатися як окремі змінні, так і цілі вирази. наприклад:
2x2+ 5x-4 = 0;
(X + 7)2+3 (x + 7) + 2 = 0.
У тому випадку, коли в ролі х виступає вираз, необхідно представити його як змінну і знайти корені рівняння. Після цього до них прирівняти многочлен і знайти х.
Так, якщо (х + 7) = а, то рівняння набуває вигляду а2+ 3а + 2 = 0.
Д = 324 * 1 * 2 = 1;
а1= (- 3-1) / 2 * 1 = -2;
а2= (- 3 + 1) / 2 * 1 = -1.
При коренях, рівних -2 і -1, отримаємо наступне:
x + 7 = -2 і x + 7 = -1;
x = -9 і x = -8.
Як знайти вершину параболи
Повернемося до початкового рівняння. Для відповіді на питання про те, як знайти вершину параболи, необхідно знати наступну формулу:
xвп= -b / 2a,
де хвп- це значення х-координати шуканої точки.
Але як знайти вершину параболи без значення у-координати? Підставляємо отримане значення х в рівняння і знаходимо шукану змінну. Наприклад, вирішимо наступне рівняння:
х2+3 х-5 = 0
Знаходимо значення х-координати для вершини параболи:
хвп= -b / 2a = -3 / 2 * 1;
хвп= -1,5.
Знаходимо значення у-координати для вершини параболи:
у = 2х2+4 х-3 = (- 1,5)2+3 * (- 1,5) -5;
у = -7,25.
В результаті отримуємо, що вершина параболи знаходиться в точці з координатами (-1,5; -7,25).
побудова параболи
Варто звернути особливу увагу на коефіцієнти квадратного рівняння.
Коефіцієнт а впливає на напрямок параболи. У тому випадку, коли він має від'ємне значення, гілки будуть спрямовані вниз, а при позитивному знаку - вгору.
Коефіцієнт b показує, наскільки широкий буде рукав параболи. Чим більше його значення, тим він буде ширше.
Коефіцієнт з вказує на зсув параболи по осі ОУ щодо початку координат.
Як знайти вершину параболи, ми вже дізналися, а щоб знайти коріння, слід керуватися наступними формулами:
Д = b2-4ac,
де Д - це дискриминант, який необхідний для знаходження коренів рівняння.
x1= (- b + V-Д) / 2a
x2= (- b-V-Д) / 2a
Отримані значення х будуть відповідати нульових значень у, тому що вони є точками перетину з віссю ОХ.
Після цього відзначаємо на координатної площинівершину параболи і набутих значень. Для більш детального графіка необхідно знайти ще кілька точок. Для цього вибираємо будь-яке значення х, допустиме областю визначення, і підставляємо його в рівняння функції. Результатом обчислень буде координата точки по осі ОУ.
Щоб спростити процес побудови графіка, можнапровести вертикальну лінію через вершину параболи і перпендикулярно осі ОХ. Це буде вісь симетрії, за допомогою якої, маючи одну точку, можна позначити і другу, рівновіддаленість від проведеної лінії.