Що таке правильна дріб? Правильна і неправильна дріб: правила

З дробом ми стикаємося в житті набагато раніше,ніж починається їх вивчення в школі. Якщо розрізати ціле яблуко навпіл, то ми отримаємо частину фрукта - ½. Разрежем ще раз - буде ¼. Це і є дроби. І все, здавалося б, просто. Для дорослої людини. Для дитини ж (а цю тему починають вивчати в кінці молодшої школи) абстрактні математичні поняття ще лякаюче незрозумілі, і викладач повинен доступно пояснити, що таке правильна дріб і неправильна, звичайна і десяткова, які операції можна з ними робити і, головне, для чого все це потрібно.

Які бувають дробу

Знайомство з новою темою в школі починається ззвичайних дробів. Їх легко впізнати по горизонтальній межах, що розділяє два числа - зверху і знизу. Верхнє називається чисельником, нижнє - знаменником. Існує і рядковий варіант написання неправильних і правильних звичайних дробів - через косу риску, наприклад: ½, 4/9, 384/183. Такий варіант використовується, коли висота рядка обмежена і немає можливості застосувати «двоповерхову» форму записи. Чому? Та тому що вона зручніше. Трохи пізніше ми в цьому переконаємося.

Крім звичайних, існують також десятковідробу. Розрізнити їх дуже просто: якщо в одному випадку використовується горизонтальна або похила риса, то в іншому - кома, що розділяє послідовності цифр. Подивимося приклад: 2,9; 163,34; 1,953. Ми навмисно скористалися крапкою з комою в якості роздільника, щоб розмежувати числа. Перше з них буде читатися так: «дві цілих, дев'ять десятих».

нові поняття

Повернемося до звичайних дробів. Вони бувають двох видів.

Визначення правильної дробу звучить наступним чином: це така дріб, чисельник якого менше знаменника. Чому це важливо? Зараз побачимо!

У вас є кілька яблук, розділених наполовинки. Всього - 5 частин. Як ви скажете: у вас «два з половиною» або «п'ять других» яблука? Звичайно, перший варіант звучить природніше, і при розмові з друзями ми скористаємося нею. А ось якщо буде потрібно порахувати, скільки фруктів дістанеться кожному, якщо в компанії п'ять чоловік, ми запишемо число 5/2 і розділимо його на 5 - з точки зору математики це буде наочніше.

Отже, для найменування правильних і неправильнихдробів правило таке: якщо в дробу можна виділити цілу частину (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), то вона є неправильною. Якщо цього зробити не можна, як у випадку з ½, 13/16, 9/10, вона буде правильною.

Основна властивість дробу

Якщо чисельник і знаменник дробу одночаснопомножити або розділити на одне й те саме число, її величина не зміниться. Уявіть: торт порізали на 4 рівні частини і дали вам одну. Такий же торт порізали на вісім частин і дали вам дві. Чи не все одно? Адже ¼ і 2/8 - це одне і те ж!

скорочення

Автори задач і прикладів в підручниках з математикичасто прагнуть заплутати учнів, пропонуючи громіздкі в написанні дробу, які насправді можна скоротити. Ось приклад правильної дробу: 167/334, який, здавалося б, виглядає дуже «страшно». Але насправді ми можемо записати його як ½. Число 334 ділиться на 167 без залишку - виконавши таку операцію, ми отримаємо 2.

змішані числа

Неправильну дріб можна представити в формізмішаного числа. Це коли ціла частина винесена вперед і записана на рівні горизонтальної риси. Фактично вираз набуває вигляду суми: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 і так далі.

Щоб винести цілу частину, потрібно розділитичисельник на знаменник. Залишок від ділення записати зверху, над рисою, а цілу частину - перед виразом. Таким чином, ми отримуємо дві структурні частини: цілі одиниці + правильну дріб.

Можна здійснити і зворотну операцію - для цього потрібно цілу частину помножити на знаменник і додати отримане значення до чисельника. Нічого складного.

Множення і ділення

Як не дивно, множити дроби простіше, ніж складати. Всього-то й потрібно - продовжити горизонтальну риску: (2/3) * (3/5) = 2 * 3/3 * 5 = 2/5.

З поділом теж все просто: потрібно перемножити дробу хрест-навхрест: (7/8) / (14/15) = 7 * 15/8 * 14 = 15/16.

додавання дробів

Що робити, якщо потрібно здійснити складанняабо віднімання дробів, а в знаменнику у них різні числа? Вчинити так само, як з множенням, не вийде - тут слід розуміти визначення правильної дробу і її сутність. Потрібно привести складові до спільного знаменника, тобто в нижній частині обох дробів повинні виявитися однакові числа.

Щоб це здійснити, слід скористатися основною властивістю дробу: помножити обидві частини на одне і те ж число. Наприклад, 2/5 + 1/10 = (2 * 2) / (5 * 2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Як же вибрати, до якого знаменника приводитискладові? Це має бути мінімальна кількість, кратну обом числах, хто стоїть в знаменниках дробів: для 1/3 і 1/9 це буде 9; для ½ і 1/7 - 14, тому що меншого значення, що ділиться без залишку на 2 і 7, не існує.

Використання

Для чого потрібні неправильні дроби? Адже набагато зручніше відразу виділити цілу частину, отримати змішане число - і справа з кінцем! Виявляється, якщо потрібно виконати множення або ділення двох дробів, вигідніше скористатися саме неправильними.

Візьмемо такий приклад: (2 + 3/17) / (37/68).

Здавалося б, скоротити і зовсім нічого. Але що, якщо записати результат складання в перших дужках у вигляді неправильного дробу? Подивіться: (37/17) / (37/68)

Тепер все встає на свої місця! Запишемо приклад таким чином, щоб все стало очевидно: (37 * 68) / (17 * 37).

Скоротимо 37 в чисельнику і знаменнику і, нарешті,розділимо верхню і нижню частини на 17. Ви ж пам'ятаєте основне правило для правильної і неправильної дробу? Ми можемо множити і ділити їх на будь-яке число, якщо робимо це одночасно для чисельника і знаменника.

Отже, отримуємо відповідь: 4. Приклад виглядав складним, а відповідь містить всього одну цифру. В математиці так часто відбувається. Головне - не боятися і слідувати простим правилам.

поширені помилки

Під час учинення дій з дробами ученьможе легко зробити одну з популярних помилок. Зазвичай вони відбуваються через неуважність, а іноді - через те, що вивчений матеріал ще не відклався у голові як слід.

Нерідко сума чисел, що стоїть в чисельнику,викликає бажання скоротити окремі її компоненти. Припустимо, в прикладі: (13 + 2) / 13, написаному без дужок (з горизонтальною лінією), багато учнів через недосвідченість закреслюють 13 зверху і знизу. Але так робити не можна ні в якому разі, адже це груба помилка! Якби замість складання стояв знак множення, ми отримали б у відповіді число 2. Але при здійсненні складання ніякі операції з одним зі складників не дозволено, тільки з усією сумою цілком.

Ще хлопці часто помиляються при розподілі дробів.Візьмемо дві правильні нескоротні дроби і розділимо один на одного: (5/6) / (25/33). Учень може переплутати і записати результуюче вираз як (5 * 25) / (6 * 33). Але так би вийшло при множенні, а в нашому випадку все буде трохи інакше: (5 * 33) / (6 * 25). Скорочуємо то, що можливо, і у відповіді побачимо 11/10. Отриману неправильну дріб запишемо як десяткову - 1,1.

дужки

Пам'ятайте, що в будь-яких математичних виразахпорядок дій визначається пріоритетом знаків операцій і наявністю дужок. За інших рівних відлік черговості виконання дій відбувається зліва направо. Це актуально і для дробів - вираз в чисельнику або знаменнику розраховується строго за цим правилом.

Адже що таке правильна дріб? Це результат ділення одного числа на інше. Якщо вони не діляться без остачі, виходить дріб - ось і все.

Як записати дріб на комп'ютері

Оскільки стандартні засоби не завждидозволяють створити дріб, що складається з двох «ярусів», учні часом йдуть на різні хитрощі. Наприклад, копіюють числители і знаменники в графічний редактор «Пейнт» і склеюють їх воєдино, малюючи між ними горизонтальну лінію. Звичайно, є більш простий варіант, який, до речі, надає і масу додаткових можливостей, які стануть корисними вам в майбутньому.

Відкрийте «Майкрософт Ворд».Одна з панелей в верхній частині екрану носить назву «Вставка» - натисніть її. Справа, в тій стороні, де розташовані значки закриття і згортання вікна, є кнопка «Формула». Це саме те, що нам потрібно!

Якщо ви скористаєтеся цією функцією, на екраніз'явиться прямокутна область, в якій можна використовувати будь-які математичні знаки, відсутні на клавіатурі, а також писати дробу в класичному вигляді. Тобто розділяючи чисельник і знаменник горизонтальною лінією. Ви навіть можете здивуватися, що таке правильне дріб настільки легко записати.

вивчайте математику

Якщо ви вчитеся в 5-6 класі, то вже скоро знанняматематики (в тому числі - вміння працювати з дробом!) буде потрібно в багатьох шкільних предметах. Практично в будь-якій задачі з фізики, при вимірюванні маси речовин в хімії, в геометрії і тригонометрії без дробів ніяк не обійтися. Вже скоро ви навчитеся обчислювати все в розумі, навіть не записуючи вираження на папері, але будуть з'являтися все більше і більше складні приклади. Тому вивчіть, що таке правильна дріб і як з нею працювати, не відставайте за навчальною програмою, своєчасно робіть домашні завдання, і тоді ви досягнете успіху.